Kartesiska koordinater till cylindriska
•
Kartesiskt koordinatsystem
Ett kartesiskt koordinatsystem, är ett koordinatsystem som i planet består av en x-axel (horisontell) och en y-axel (vertikal) som skär varandra i rät vinkel. Skärningspunkten kallas origo. För att få en tredimensionell representation läggs en z-axel vinkelrätt mot xy-planet på ett sådant sätt att systemet blir högerorienterat. Det brukar avbildas så att xy-planet är vågrätt och z-axeln är vertikal.
Genom gradering av axlarna med en enhetslängd definieras ett rutnät. Koordinaterna för en viss punkt är tal som anger avståndet från origo till punktens vinkelräta projektion på respektive axel. I det tvådimensionella fallet anges först x-koordinaten och sedan y-koordinaten. I bilden till höger har punkten koordinaterna (3, 5).
Pilarna längst ut på de ritade axlarna indikerar att axlarna har oändlig utsträckning.
Det kartesiska koordinatsystemet ger vanligen, till skillnad från till exempel det polära, enklare uttryck vid derivering med avseende på tiden. Å andra sidan kan de kartesiska koordinaterna ge onödigt många termer/faktorer vid arbete med objekt med en viss geometri, som till exempel sfärer eller cylindrar.
En ann
•
Cylindriska koordinater: system, f&#;r&#;ndring och &#;vningar
Innehåll
De cylindriska koordinater De anv&#;nds f&#;r att lokalisera punkter i tredimensionellt utrymme och best&#;r av en radiell koordinat ρ, en azimutkoordinat φ och en h&#;jdkoordinat z.
En po&#;ng P placerad i rymden projiceras ortogonalt p&#; planet XY ger upphov till saken P ' p&#; det planet. Avst&#;ndet fr&#;n ursprung till punkt P ' definierar koordinaten ρ, medan vinkeln bildas av axeln X med str&#;len OP ' definierar koordinaten φ. Slutligen koordinaten z &#;r punktens ortogonala projektion P p&#; axeln Z. (se figur 1).
Den radiella koordinaten ρ &#;r alltid positiv, den azimutala koordinaten φ varierar fr&#;n noll radianer till tv&#; pi radianer, medan z-koordinaten kan ta vilket verkligt v&#;rde som helst:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
- ∞ <z <+ ∞
&#;ndring av koordinater
Det &#;r relativt l&#;tt att f&#; de kartesiska koordinaterna (x, y, z) f&#;r en punkt P fr&#;n dess cylindriska koordinater (ρ, φ, z):
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Men det &#;r ocks&#; m&#;jligt att erh&#;lla pol&#;ra koordinater (ρ, φ, z) med utg&#;ngspunkt fr&#;n kunskapen om de ka
•
CYLINDRISKA KOORDINATER: struktur, FÖRÄNDRING samt ÖVNINGAR - MATTE -
De cylindriska koordinaterna används för för att lokalisera punkter i tredimensionellt utrymme samt består från en radiell koordinat ρ, φ azimutalkoordinat och z-koordinat för höjd.
En punkt P belägen inom rymden projiceras ortogonalt vid XY-planet vilket ger upphov till punkten P 'i det planet. Avståndet ifrån ursprunget mot punkten P 'definierar koordinaten ρ, medan vinkeln liksom X-axeln fullfölja med strålen OP' definierar koordinaten φ. Slutligen existerar z-koordinaten den ortogonala projektionen av punkt P vid Z-axeln. (se figur 1).
Figur 1. Punkt P på grund av cylindriska koordinater (ρ, φ, z). (Egen utarbetande)
Den radiella koordinaten ρ är ständigt positiv, den azimutalkoordinaten φ varierar ifrån nollradianer mot två pi-radianer, medan z-koordinaten kan ta valfritt värde:
0 ≤ ρ <∞
0 ≤ φ <2π
- ∞ <z <+ ∞
Ändring av koordinater
Det är relativt enkelt för att erhålla dem kartesiska koordinaterna (x, y, z) till en punkt P ifrån dess cylindriska koordinater (ρ, φ, z):
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Men det existerar också möjligt att erhålla polära koordinater (ρ, φ, z) utifrån kunskapen angående de kartesiska koordinaterna (x, y,